2 6 A ug 2 00 9 NEW HOPF STRUCTURES ON BINARY TREES ( EXTENDED

The multiplihedra · = (Mn)n≥1 form a family of polytopes originating in the study of higher categories and homotopy theory. While the multiplihedra may be unfamiliar to the algebraic combinatorics community, it is nestled between two families of polytopes that certainly are not: the permutahedra · and associahedra · The maps · ։ · ։ · reveal several new Hopf structures on tree-like objects nestled between the Hopf algebras SSym and YSym. We begin their study here, showing that MSym is a module over SSym and a Hopf module over YSym. Rich structural information about MSym is uncovered via a change of basis—using Möbius inversion in posets built on the 1-skeleta of · Our analysis uses the notion of an interval retract, which should have independent interest in poset combinatorics. It also reveals new families of polytopes, and even a new factorization of a known projection from the associahedra to hypercubes. Résumé. Les multiplihédra · = (Mn)n≥1 formez une famille des polytopes provenant de l’étude des catégories plus élevées et de la théorie homotopy. Tandis que le multiplihédra peut être peu familier à la communauté algébrique de combinatoire, il est niché entre deux familles des polytopes qui ne sont pas certainement : le permutahédra · et l’associahédra · Les morphisms · ։ · ։ · indiquent plusieurs nouvelles structures de Hopf en fonction arbre-comme des objets nichés entre les algèbres de Hopfs SSym et YSym. Nous commen cons leur étude ici, prouvant que MSym est un module au-dessus de SSym et un module de Hopf au-dessus de YSym. Des informations structurales riches sur MSym sont découvertes par l’intermédiaire d’une modification de base—utilisant inversion de Möbius dans les posets établis sur le 1skeleta de · Notre analyse utilise la notion d’un intervalle se rétractent, qui devrait avoir l’intérêt indépendant pour la combinatoire de poset. Elle indique également de nouvelles familles des polytopes, et même une nouvelle factorisation d’une projection connue de l’associahédra aux hypercubes. Introduction In the past 30 years, there has been an explosion of interest in combinatorial Hopf algebras related to the classical ring of symmetric functions. This is due in part to their applications in combinatorics and representation theory, but also in part to a viewpoint expressed in the elegant commuting diagram NSym